August Heinrich (1720-1810) wurde als Sohn des preußischen Kammerherrn Erdmann Graf von Pückler am 7. November 1720 in Branitz geboren. Er übernahm 1747 das Gut Branitz mit Kiekebusch und dem Anteil Haasow nach dem Tod seiner Mutter Constantia Henriette, Tochter des preußischen Staatsministers Heinrich Rüdiger von Ilgen (1654-1728).
Am 3. Oktober 1746 vermählte er sich mit Lucie Charlotte Freiin von Grote (1722-1757). Sie war die Tochter des aus dem lüneburgischen Uradel stammenden preußischen Offiziers Karl August Freiherr von Grote (1689−1761) und der Margarethe Sophie, geb. von Pannwitz (1701−1789). Aus der Ehe gingen Auguste Charlotte Luise Gräfin von Pückler, spätere Gräfin zu Lynar (1750–1818), und der Sohn Ludwig Karl Johann Erdmann Graf von Pückler (1754–1811), Vater des Fürsten von Pückler-Muskau, hervor.
Schloss Branitz erhielt unter August Heinrich 1770/71 seine heutige barocke Fassade. Durch Geschäftstüchtigkeit und Agilität gelang es ihm, die Standesherrschaft Muskau in den Pücklerschen Besitz einzubeziehen. Im Dezember 1784 heiratete sein Sohn Ludwig die vierzehnjährige Erbtochter der Standesherrschaft Muskau, Clementine Reichsgräfin von Callenberg (1770−1850). Vater und Sohn siedelten nach Muskau über und August Heinrich übernahm die Verwaltung der Standesherrschaft Muskau. Im August 1792 heiratete der 73jährige Graf Pückler ein zweites Mal: Charlotte Sophie Rahel von Kracht (1770–1844). Aus dieser Verbindung stammt der gemeinsame Sohn Sylvius Graf von Pückler (1800–1859), Besitzer der Herrschaft Schönfeld, Kreis Schweidnitz.